🎯 Was ist der Dreisatz? Die Grundlagen
Der Dreisatz ist eine der wichtigsten Rechenmethoden im Alltag. Sie hilft Ihnen, proportionale Zusammenhänge zu berechnen – von Rezeptmengen über Preise bis zu Arbeitszeiten.
Der Dreisatz in 3 Schritten
- Schritt 1: Gegeben – Die bekannte Zuordnung verstehen
- Schritt 2: Einheit – Auf 1 zurückrechnen (Grundwert finden)
- Schritt 3: Gesuchtes – Auf neue Menge hochrechnen
Klassisches Beispiel: Apfelkauf
Gegeben: 3 kg Äpfel kosten 6 €
Gesucht: Was kosten 8 kg Äpfel?
Schritt 1: 3 kg = 6 €
Schritt 2: 1 kg = 6 € ÷ 3 = 2 €
Schritt 3: 8 kg = 2 € × 8 = 16 €
Antwort: 8 kg Äpfel kosten 16 €
Die Dreisatz-Formel
Proportional (je mehr, desto mehr):
Gesuchter Wert = (Bekannter Wert × Neue Menge) ÷ Alte Menge
Antiproportional (je mehr, desto weniger):
Gesuchter Wert = (Bekannter Wert × Alte Menge) ÷ Neue Menge
↗️ Proportionaler Dreisatz: Je mehr, desto mehr
Bei proportionalen Zusammenhängen steigen beide Werte gemeinsam: Mehr Ware = mehr Preis, mehr Arbeiter = mehr Leistung.
Erkennungsmerkmale
- ✅ Beide Werte steigen gleichzeitig
- ✅ Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich die andere
- ✅ Das Verhältnis bleibt konstant
Beispiel 1: Tankfüllung
Situation: Ihr Auto verbraucht 35 Liter auf 500 km
Frage: Wie viel verbraucht es auf 750 km?
Lösung:
500 km = 35 Liter
1 km = 35 ÷ 500 = 0,07 Liter
750 km = 0,07 × 750 = 52,5 Liter
Antwort: Auf 750 km verbrauchen Sie 52,5 Liter
Beispiel 2: Rezept umrechnen
Situation: Ein Kuchenrezept für 4 Personen benötigt 250g Mehl
Frage: Wie viel Mehl für 10 Personen?
Lösung:
4 Personen = 250g Mehl
1 Person = 250g ÷ 4 = 62,5g
10 Personen = 62,5g × 10 = 625g
Antwort: Für 10 Personen benötigen Sie 625g Mehl
Beispiel 3: Arbeitsleistung
Situation: 6 Maurer bauen eine Mauer in 15 Tagen
Frage: Wie lange brauchen 9 Maurer?
⚠️ Achtung: Dies ist ANTIPROPORTIONAL! (siehe nächster Abschnitt)
Mehr Arbeiter = weniger Zeit (nicht mehr Zeit!)
↙️ Antiproportionaler Dreisatz: Je mehr, desto weniger
Bei antiproportionalen Zusammenhängen verhalten sich die Werte umgekehrt: Mehr Arbeiter = weniger Zeit, höhere Geschwindigkeit = weniger Fahrzeit.
🚨 Häufiger Fehler!
Viele verwechseln proportional und antiproportional. Die Frage ist entscheidend:
- Proportional: "Je mehr X, desto mehr Y"
- Antiproportional: "Je mehr X, desto weniger Y"
Erkennungsmerkmale antiproportional
- ✅ Ein Wert steigt, der andere sinkt
- ✅ Verdopplung der einen Größe = Halbierung der anderen
- ✅ Das Produkt bleibt konstant (Arbeiter × Zeit = konstant)
Beispiel 1: Bauzeit mit mehr Arbeitern
Situation: 4 Arbeiter benötigen 12 Tage für einen Auftrag
Frage: Wie lange brauchen 6 Arbeiter?
Lösung (antiproportional!):
4 Arbeiter = 12 Tage
1 Arbeiter = 12 × 4 = 48 Tage (ein Arbeiter allein braucht länger!)
6 Arbeiter = 48 ÷ 6 = 8 Tage
Antwort: 6 Arbeiter benötigen nur 8 Tage
Beispiel 2: Fahrzeit bei höherer Geschwindigkeit
Situation: Mit 80 km/h benötigen Sie 3 Stunden
Frage: Wie lange bei 120 km/h?
Lösung:
80 km/h = 3 Stunden → Strecke: 240 km
1 km/h = 3 × 80 = 240 Stunden (theoretisch bei 1 km/h)
120 km/h = 240 ÷ 120 = 2 Stunden
Antwort: Bei 120 km/h benötigen Sie 2 Stunden
Beispiel 3: Vorrat bei mehr Personen
Situation: Ein Vorrat reicht für 8 Personen für 12 Tage
Frage: Wie lange reicht er für 12 Personen?
Lösung:
8 Personen = 12 Tage
1 Person = 12 × 8 = 96 Tage
12 Personen = 96 ÷ 12 = 8 Tage
Antwort: Der Vorrat reicht für 12 Personen nur 8 Tage
🏪 Dreisatz im Supermarkt: Preisvergleiche
Der Dreisatz hilft Ihnen, clever einzukaufen und Geld zu sparen!
Szenario 1: Welche Packung ist günstiger?
Angebot A: 500g für 3,49 €
Angebot B: 750g für 4,99 €
Berechnung Angebot A:
500g = 3,49 €
100g = 3,49 ÷ 5 = 0,698 € (69,8 Cent)
Berechnung Angebot B:
750g = 4,99 €
100g = 4,99 ÷ 7,5 = 0,665 € (66,5 Cent)
Ergebnis: Angebot B ist 3,3 Cent pro 100g günstiger! Bei größerer Packung sparen Sie.
💡 Spartipp
Rechnen Sie immer auf 100g oder 1 Liter um – so erkennen Sie sofort, welches Produkt das beste Preis-Leistungs-Verhältnis hat!
Szenario 2: Rabatt umrechnen
Situation: 3 Artikel kosten 45 € (Normalpreis 60 €)
Frage: Was kosten 7 Artikel mit dem gleichen Rabatt?
Schritt 1 - Rabatt berechnen:
Rabatt = 60 - 45 = 15 € (25% Rabatt)
Schritt 2 - Preis pro Artikel:
3 Artikel = 45 €
1 Artikel = 45 ÷ 3 = 15 €
Schritt 3 - 7 Artikel:
7 Artikel = 15 × 7 = 105 €
Antwort: 7 Artikel kosten mit Rabatt 105 €
🍳 Dreisatz in der Küche: Rezepte umrechnen
Kochen für mehr oder weniger Gäste? Der Dreisatz hilft Ihnen, Rezepte perfekt anzupassen!
Originalrezept: Pfannkuchen für 4 Personen
| Zutat | 4 Personen | 6 Personen | 10 Personen |
|---|---|---|---|
| Mehl | 200g | 300g | 500g |
| Milch | 400ml | 600ml | 1000ml |
| Eier | 4 Stück | 6 Stück | 10 Stück |
| Zucker | 40g | 60g | 100g |
| Salz | 1 Prise | 1,5 Prisen | 2,5 Prisen |
Berechnung für 6 Personen (Beispiel Mehl)
4 Personen = 200g Mehl
1 Person = 200g ÷ 4 = 50g
6 Personen = 50g × 6 = 300g
💡 Küchen-Tipp
Bei Gewürzen und Salz nicht 1:1 umrechnen! Der Geschmack intensiviert sich bei größeren Mengen. Lieber etwas weniger nehmen und nachwürzen.
Backzeit anpassen
Situation: Rezept für eine 26cm Springform, Backzeit 45 Minuten
Frage: Backzeit für 20cm Form?
⚠️ Wichtig: Kleinere Form = tieferer Teig = längere Backzeit!
Dies ist NICHT proportional – hier gilt Erfahrung und Stäbchenprobe!
Faustregel: Kleinere Form (+30% Backzeit) → ca. 58 Minuten
🔨 Dreisatz im Handwerk: Materialberechnung
Handwerker nutzen den Dreisatz täglich für Material, Zeit und Kostenkalkulationen.
Beispiel 1: Farbverbrauch berechnen
Gegeben: 2,5 Liter Farbe reichen für 20 m²
Gesucht: Wie viel Farbe für 65 m²?
Lösung:
20 m² = 2,5 Liter
1 m² = 2,5 ÷ 20 = 0,125 Liter
65 m² = 0,125 × 65 = 8,125 Liter
Antwort: Sie benötigen ca. 8,2 Liter Farbe
Praxis-Tipp: Bestellen Sie 9 Liter (mit Reserve für zweiten Anstrich)
Beispiel 2: Materialkostenrechnung
Gegeben: 15 m² Fliesen kosten 285 €
Gesucht: Kosten für 42 m²?
Lösung:
15 m² = 285 €
1 m² = 285 ÷ 15 = 19 €
42 m² = 19 × 42 = 798 €
Antwort: 42 m² Fliesen kosten 798 € (plus 10% Verschnitt!)
Beispiel 3: Zeitkalkulation mit mehreren Arbeitern
Gegeben: 3 Elektriker benötigen 8 Stunden für eine Installation
Gesucht: Wie lange brauchen 5 Elektriker?
Lösung (antiproportional!):
3 Elektriker = 8 Stunden
1 Elektriker = 8 × 3 = 24 Stunden (Gesamtarbeitsaufwand)
5 Elektriker = 24 ÷ 5 = 4,8 Stunden
Antwort: 5 Elektriker benötigen nur 4,8 Stunden (ca. 4 Std. 50 Min.)
Handwerker-Formeln auf einen Blick
- Farbverbrauch: Liter pro m² × Fläche = Gesamtbedarf
- Materialkosten: Preis pro Einheit × Menge = Gesamtkosten
- Arbeitszeit: Stunden × Arbeiter = Konstanter Aufwand
- Verschnitt einplanen: + 10-15% bei Fliesen, Tapeten, Holz
💼 Dreisatz im Büro: Geschäftliche Anwendungen
Beispiel 1: Produktivität berechnen
Situation: Ein Mitarbeiter bearbeitet 45 Aufträge in 6 Stunden
Frage: Wie viele Aufträge schafft er in einer 40-Stunden-Woche?
Lösung:
6 Stunden = 45 Aufträge
1 Stunde = 45 ÷ 6 = 7,5 Aufträge
40 Stunden = 7,5 × 40 = 300 Aufträge
Antwort: In einer Woche schafft er 300 Aufträge
Beispiel 2: Kostenumlegung
Situation: 12 Teilnehmer teilen Raumkosten von 360 €
Frage: Wie viel zahlen 18 Teilnehmer insgesamt?
⚠️ Achtung: Raumkosten bleiben GLEICH, nur Kosten pro Person ändern sich!
Richtige Frage: Wie viel zahlt jeder bei 18 Teilnehmern?
12 Teilnehmer = 360 € gesamt → 30 € pro Person
18 Teilnehmer = 360 € gesamt → 20 € pro Person
Dies ist antiproportional: Mehr Teilnehmer = weniger pro Person!
Beispiel 3: Skalierung von Marketingbudget
Situation: 5.000 € Budget bringen 250 Neukunden
Frage: Wie viele Neukunden bei 12.000 € Budget?
Lösung:
5.000 € = 250 Neukunden
1 € = 250 ÷ 5.000 = 0,05 Neukunden
12.000 € = 0,05 × 12.000 = 600 Neukunden
Antwort: Mit 12.000 € erreichen Sie ca. 600 Neukunden
Praxis-Hinweis: In der Realität ist dies nicht immer linear (Sättigungseffekte!)
⚙️ Zusammengesetzter Dreisatz: Mehrere Faktoren
Manchmal ändern sich mehrere Größen gleichzeitig. Der zusammengesetzte Dreisatz hilft dabei!
Beispiel: Bauzeit mit mehr Arbeitern und kürzerer Arbeitszeit
Ausgangssituation:
8 Arbeiter arbeiten 6 Stunden täglich und benötigen 15 Tage
Neue Situation:
12 Arbeiter arbeiten nur 4 Stunden täglich
Frage: Wie viele Tage benötigen sie?
Lösung Schritt für Schritt:
Schritt 1 - Gesamtarbeitsstunden berechnen:
8 Arbeiter × 6 Std./Tag × 15 Tage = 720 Arbeitsstunden gesamt
Schritt 2 - Neue tägliche Leistung:
12 Arbeiter × 4 Std./Tag = 48 Arbeitsstunden pro Tag
Schritt 3 - Benötigte Tage:
720 Arbeitsstunden ÷ 48 Std./Tag = 15 Tage
Antwort: Sie benötigen genau so lange (15 Tage), weil mehr Arbeiter die kürzere Arbeitszeit ausgleichen!
Beispiel: Druckerei mit unterschiedlichen Maschinen
Ausgangssituation:
4 Maschinen drucken in 5 Stunden 2.000 Broschüren
Neue Situation:
6 Maschinen sollen 5.000 Broschüren drucken
Frage: Wie viele Stunden benötigen sie?
Lösung:
Schritt 1: Leistung pro Maschine pro Stunde
4 Maschinen × 5 Std. = 2.000 Broschüren
1 Maschine × 1 Std. = 2.000 ÷ (4 × 5) = 100 Broschüren
Schritt 2: Zeit für neue Aufgabe
6 Maschinen × ? Std. = 5.000 Broschüren
6 Maschinen × 1 Std. = 600 Broschüren
? = 5.000 ÷ 600 = 8,33 Stunden
Antwort: 6 Maschinen benötigen 8,33 Stunden (8 Std. 20 Min.)
🎓 Profi-Tipps & häufige Fehler
✅ Tipp 1: Einheiten prüfen
Achten Sie darauf, dass alle Einheiten zusammenpassen. kg mit kg, Stunden mit Stunden, € mit €.
✅ Tipp 2: Plausibilität checken
Ergebnis sinnvoll? Bei 10 kg statt 5 kg sollte der Preis höher sein, nicht niedriger!
✅ Tipp 3: Proportional vs. Antiproportional
Fragen Sie sich: "Steigen beide Werte oder bewegt sich einer entgegengesetzt?"
✅ Tipp 4: Zwischenergebnisse aufschreiben
Notieren Sie jeden Schritt – so finden Sie Fehler schneller und verstehen den Rechenweg besser.
✅ Tipp 5: Mit 1 rechnen
Der Umweg über "1" (1 kg, 1 Stunde, 1 Person) macht die Rechnung transparent und nachvollziehbar.
✅ Tipp 6: Taschenrechner nutzen
Bei komplexen Zahlen nicht im Kopf rechnen – Fehler schleichen sich schnell ein!
🚫 Die 5 häufigsten Dreisatz-Fehler
- Verwechslung proportional/antiproportional
→ Immer fragen: Steigen beide Werte oder verhalten sie sich umgekehrt? - Falsches Kürzen
→ Erst auf 1 reduzieren, dann neu hochrechnen – nicht diagonal kürzen! - Einheiten durcheinander
→ Meter nicht mit Zentimetern mischen, Stunden nicht mit Minuten - Fehlende Plausibilitätsprüfung
→ Ergebnis unrealistisch? Rechnung nochmal überprüfen! - Rundungsfehler
→ Erst am Ende runden, nicht bei Zwischenschritten
📊 Dreisatz-Übersicht: Wann welche Methode?
| Situation | Typ | Erkennungsmerkmal | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Preise, Mengen, Kosten | Proportional | Mehr Ware = Mehr Preis | 5 kg = 10 €, 8 kg = ? |
| Rezepte umrechnen | Proportional | Mehr Personen = Mehr Zutaten | 4 Personen = 200g, 6 Personen = ? |
| Verbrauch, Strecken | Proportional | Mehr km = Mehr Benzin | 100 km = 7L, 250 km = ? |
| Arbeitszeit mit Arbeitern | Antiproportional | Mehr Arbeiter = Weniger Zeit | 5 Arbeiter = 8 Std., 10 Arbeiter = ? |
| Geschwindigkeit & Zeit | Antiproportional | Höhere Speed = Kürzere Zeit | 60 km/h = 4 Std., 80 km/h = ? |
| Vorrat & Personen | Antiproportional | Mehr Personen = Kürzer reicht's | 10 Pers. = 12 Tage, 15 Pers. = ? |
| Mehrere Faktoren | Zusammengesetzt | Mehr als 2 veränderliche Größen | Arbeiter + Stunden + Tage |
🧮 Dreisatz mit Prozenten kombinieren
Oft müssen Sie Dreisatz und Prozentrechnung kombinieren – zum Beispiel bei Rabatten oder Steuerberechnungen.
Beispiel: Rabatt auf mehrere Artikel
Situation: Ein Artikel kostet normal 50 €, mit 20% Rabatt 40 €
Frage: Was kosten 7 Artikel mit Rabatt?
Methode 1 - Über Dreisatz:
1 Artikel = 40 € (mit Rabatt)
7 Artikel = 40 × 7 = 280 €
Methode 2 - Erst gesamt, dann Rabatt:
7 Artikel normal = 50 × 7 = 350 €
20% Rabatt = 350 × 0,20 = 70 €
Endpreis = 350 - 70 = 280 €
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis: 280 €
💡 Kombinationstipp
Bei Rabatten erst ausrechnen, dann Dreisatz anwenden. Bei Steuern umgekehrt: erst Dreisatz, dann Steuer aufschlagen.
🧮 Dreisatz automatisch berechnen
Sparen Sie Zeit mit unserem kostenlosen Dreisatz-Rechner – gibt und antiproportionale Berechnungen in Sekunden!
Zum Dreisatz-Rechner →📚 Weiterführende Ressourcen
🔧 Verwandte Rechner
- Prozentrechner – Prozente und Dreisatz kombinieren
- Durchschnittsrechner – Mittelwerte berechnen
- Umsatzsteuer-Rechner – Brutto/Netto Berechnungen
- Rabatt-Rechner – Rabatte mit Dreisatz berechnen
- Fliesenbedarf-Rechner – Materialbedarf kalkulieren
📖 Verwandte Artikel
🌐 Empfohlene Lernressourcen
Falls Sie den Dreisatz noch tiefer verstehen möchten, können diese Bildungsportale hilfreich sein. Wir haben diese Quellen für zusätzliche Beispiele und Übungen genutzt:
- Lernhelfer Dreisatz – Bietet ausführliche theoretische Erklärungen zum Dreisatz, die unserem praxisorientierten Ansatz ergänzen. Gut geeignet, um die mathematischen Grundlagen zu vertiefen.
- Gut-erklärt Dreisatz – Enthält zusätzliche Übungsaufgaben, die Sie parallel zu unserem praktischen Guide nutzen können. Die Beispiele dort sind eher schulisch orientiert.
- Frustfrei-Lernen – Bietet Schritt-für-Schritt Anleitungen aus einer anderen Perspektive. Geeignet für Wiederholung und alternative Erklärungsansätze.